Eine Lotteriegesellschaft bezieht ihre Lottokugeln von zwei verschiedenen Herstellern A und B.
Hersteller
A liefert 85% aller Lottokugeln und hat im Durchschnitt 0,05% Ausschuss,
Hersteller B hat 0,2% Ausschuss.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine zufällig ausgewählte defekte Lottokugel vom Hersteller B?
Hier kann man den Satz von Bayes direkt anwenden:
P(Hersteller B/defekt) = [0,002*0,15] / [0,0005*0,85+0,002*0,15] = ca. 0,4138 oder 41,38%
Interessant wäre in diesem Zusammenhang z.B. auch die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Lottokugel defekt sein sollte:
P(defekt) = 0,002*0,15 + 0,0005*0,85 = 0,000725 oder 0,0725%
Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Lotto ist nicht so kompliziert
Die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse bei der Lottozahlenziehung zu berechnen ist gar nicht schwer. Dazu genügt etwas Phantasie. Man sollte einmal im Kopf nur mit der Vorstellungskraft die Ziehung der Lottozahlen nachvollziehen. Als Spiel kann man sich vorstellen, dass immer nur eine Kugel von den 49 Kugeln gezogen wird. Anschließend wird diese gezogene Kugel zurückgelegt und das Spiel beginnt von neuem. Dazu geben wir einen Tipp ab, welche Kugel als nächstes gezogen wird, führen die Ziehung aus und legen die Kugel dann zurück in die Trommel.
Die Wahrscheinlichkeit ist also sehr leicht zu ermitteln. Alle Kugeln haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei unserer 1-Kugel-Ziehung der Tipp richtig ist, ist also exakt 1:49. Im allgemeinen Sprachgebrauch würde man zwar 1 zu 49 sagen, doch mathematisch korrekt ist 1 dividiert durch 49 oder 1 geteilt durch 49. Der sich hieraus ergebende Wert ist ungefähr 0,0204, oder in Prozenten ca. 2,04%.
Es ist also sehr einfach, die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung der ersten Kugel bei den Lottozahlen zu berechnen. Diese hat immer die Wahrscheinlichkeit von 2,04%. Dabei spielen die vorangegangenen Ziehungen absolute keine Rolle. Auch wenn die Kugel in unserem ausgedachten Spiel 17 Mal hintereinander gezogen würde, betrüge die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung dieser Kugel bei der nächsten Ziehung wiederum ca. 2,04%. Die Lottokugel hat also kein Gedächtnis – für sie ist jede Ziehung gleich. (Dabei ist aber darauf hinzuweisen, dass die Wahrscheinlichkeit des zusammenhängenden Ereignisses, dass z.B. 100 Mal die Kugel 5 gezogen wird, äußerst gering ist. Das ist eine andere Wahrscheinlichkeit als das Einzelereignis. Zu der Erklärung hierfür kommen wir nun).
Beispiel 2:
Wir stellen uns wieder vor eine Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für das richtige Erraten dieser Kugel liegt wie gesehen bei 1 : 49. Nun legen wir diese Kugel zurück und raten wiederum ein zweites Mal für die Ziehung der zweiten Kugel – wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander die richtige Kugel zu erraten?
Für die Ziehung der ersten Kugel gibt es 49 Möglichkeiten. In unserem Spiel für die Ziehung der zweiten Kugel noch einmal 49 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisse kann man sehr leicht ausrechnen, wenn man sich die Anzahl der Kombinationen vorstellt. Wenn in der ersten Ziehung z.B. die Kugel 4 gezogen wird, gibt es für die Ziehung der zweiten Zahl noch einmal 49 Möglichkeiten. Jeder zuerst gezogenen Zahl können also jeweils 49 weitere zugeordnet werden. Es ergeben sich also 49 x 49 = 2401 mögliche Kombinationen für die beiden Ziehungen unserer fiktiven Lottozahlen.
Die Wahrscheinlichkeit nun diese beiden Lottozahlen richtig zu ziehen beträgt daher genau 1 : 2401, also ca. 0,00042 oder anders gesagt 0,042%. Wohlgemerkt – die Ziehungswahrscheinlichkeit für die erste Lottozahl hat sich nicht geändert – die Wahrscheinlichkeit für das Gesamtereignis wird aber deutlich geringer.
Wenn wir unser Spiel mit den 1 aus 49 weiterdenken, sehen wird, dass mit jeder zusätzlichen Ziehung die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten wiederum um den Faktor 49 steigt. Bei beispielsweise 6 Ziehungen ergeben sich also insgesamt 49 * 49 * 49 * 49 * 49 * 49 = 13.841.287.201 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, daß Sie alle Zahlen in der richtigen Reihenfolge erraten, beträgt folglich nur ca. 1 zu 14 Milliarden oder anders ausgedrückt 0,0000000072%.
In der Mathematik benutzt man also dann für die Wahrscheinlichkeit des Gesamtereignisses die Formel Wges. = 49^6 (sprich: 49 hoch 6).
Des Weiteren wird an dieser Stelle auf die Regeln und den Vergleich der Wahrscheinlichkeiten im Lotto gegenüber der Lotterie Eurojackpot verwiesen.
