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   Autor  Thema: Wahrscheinlichkeit und Lottozahlen  (Gelesen 1958 mal)
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Wahrscheinlichkeit und Lottozahlen
« am: 07.07.2016 um 12:45:02 »
Lottozahlen kann man zur Veranschaulichung auch einmal streng im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachten. Dies kann besonders hilfreich sein, wenn man sich etwa die Spielsysteme der großen Lottofirmen anschaut, deren Gewinnprognosen auf den ersten Blick verführerisch erscheinen.
Um zu verstehen, wie das Lotto funktioniert, sollte man wissen, was ein zufälliges Ereignis ist und wie Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Dazu muss man nicht Mathematik studiert haben.
Nun wird in Kürze auf die grundlegenden Begriffe und Zusammenhänge einzugehen sein. Die Ziehung der Lottozahlen 6 aus 49 eignet sich besonders gut dafür.
Das Ziehungsgerät ist einer Trommel, die 49 identische Kugeln enthält. Diese Kugeln sind in fortlaufender Reihenfolge numeriert. Die Konstruktion gewährleistet die korrekte Durchmischung der Kugeln – damit wird es dem reinen Zufall überlassen, welche Kugel als nächstes gezogen wird. Da die Kugeln identisch sein sollten, kann davon ausgegangen werden, dass, daß bei auf sehr, sehr lange Sicht, genauer gesagt, bei unendlich vielen gezogenen Kugeln alle Kugeln gleich häufig gezogen werden. Keine Kugel wird häufiger als andere erscheinen. Das Ziehungsgerät ist also ein nahezu vollkommener Zufallsgenerator, der die Lottozahlen von 1 bis 49 rein zufällig ausgibt.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Lotto
« Antwort #1 am: 07.07.2016 um 12:48:00 »
Wahrscheinlichkeitsrechnung beim Lotto ist nicht so kompliziert
 
Die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse bei der Lottozahlenziehung zu berechnen ist gar nicht schwer. Dazu genügt etwas Phantasie. Man sollte einmal im Kopf nur mit der Vorstellungskraft die Ziehung der Lottozahlen nachvollziehen. Als Spiel kann man sich vorstellen, dass immer nur eine Kugel von den 49 Kugeln gezogen wird. Anschließend wird diese gezogene Kugel zurückgelegt und das Spiel beginnt von neuem. Dazu geben wir einen Tipp ab, welche Kugel als nächstes gezogen wird, führen die Ziehung aus und legen die Kugel dann zurück in die Trommel.
Die Wahrscheinlichkeit ist also sehr leicht zu ermitteln. Alle Kugeln haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei unserer 1-Kugel-Ziehung der Tipp richtig ist, ist also exakt 1:49. Im allgemeinen Sprachgebrauch würde man zwar 1 zu 49 sagen, doch mathematisch korrekt ist 1 dividiert durch 49 oder 1 geteilt durch 49. Der sich hieraus ergebende Wert ist ungefähr 0,0204, oder in Prozenten ca. 2,04%.
Es ist also sehr einfach, die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung der ersten Kugel bei den Lottozahlen zu berechnen. Diese hat immer die Wahrscheinlichkeit von 2,04%. Dabei spielen die vorangegangenen Ziehungen absolute keine Rolle. Auch wenn die Kugel in unserem ausgedachten Spiel 17 Mal hintereinander gezogen würde, betrüge die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung dieser Kugel bei der nächsten Ziehung wiederum ca. 2,04%. Die Lottokugel hat also kein Gedächtnis – für sie ist jede Ziehung gleich. (Dabei ist aber darauf hinzuweisen, dass die Wahrscheinlichkeit des zusammenhängenden Ereignisses, dass z.B. 100 Mal die Kugel 5 gezogen wird, äußerst gering ist. Das ist eine andere Wahrscheinlichkeit als das Einzelereignis. Zu der Erklärung hierfür kommen wir nun).
Beispiel 2:
Wir stellen uns wieder vor eine Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für das richtige Erraten dieser Kugel liegt wie gesehen bei 1 : 49. Nun legen wir diese Kugel zurück und raten wiederum ein zweites Mal für die Ziehung der zweiten Kugel – wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander die richtige Kugel zu erraten?
Für die Ziehung der ersten Kugel gibt es 49 Möglichkeiten. In unserem Spiel für die Ziehung der zweiten Kugel noch einmal 49 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisse kann man sehr leicht ausrechnen, wenn man sich die Anzahl der Kombinationen vorstellt. Wenn in der ersten Ziehung z.B. die Kugel 4 gezogen wird, gibt es für die Ziehung der zweiten Zahl noch einmal 49 Möglichkeiten. Jeder zuerst gezogenen Zahl können also jeweils 49 weitere zugeordnet werden. Es ergeben sich also 49 x 49 = 2401 mögliche Kombinationen für die beiden Ziehungen unserer fiktiven Lottozahlen.
Die Wahrscheinlichkeit nun diese beiden Lottozahlen richtig zu ziehen beträgt daher genau 1 : 2401, also ca. 0,00042 oder anders gesagt 0,042%. Wohlgemerkt – die Ziehungswahrscheinlichkeit für die erste Lottozahl hat sich nicht geändert – die Wahrscheinlichkeit für das Gesamtereignis wird aber deutlich geringer.
Wenn wir unser Spiel mit den 1 aus 49 weiterdenken, sehen wird, dass mit jeder zusätzlichen Ziehung die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten wiederum um den Faktor 49 steigt. Bei beispielsweise 6 Ziehungen ergeben sich also insgesamt 49 * 49 * 49 * 49 * 49 * 49 = 13.841.287.201 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, daß Sie alle Zahlen in der richtigen Reihenfolge erraten, beträgt folglich nur ca. 1 zu 14 Milliarden oder anders ausgedrückt 0,0000000072%.
In der Mathematik benutzt man also dann für die Wahrscheinlichkeit des Gesamtereignisses die Formel Wges. = 49^6 (sprich: 49 hoch 6).
Des Weiteren wird an dieser Stelle auf die Regeln und den Vergleich der Wahrscheinlichkeiten im Lotto gegenüber der Lotterie Eurojackpot verwiesen.
 
Wie man die Wahrscheinlichkeiten bei der Lotterie Eurojackpot berechnet, erfahren Sie außerdem in einem anderen Beitrag unserem Forum.
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Die Wahrscheinlichkeit für das deutsche Lotto
« Antwort #2 am: 07.07.2016 um 12:49:56 »
Die Wahrscheinlichkeit für das deutsche Lotto 6 aus 49
 
Nun ist nur noch die kleine Sache in unserem Beispiel zu ändern, dass die Lottozahlen nacheinander gezogen werden, ohne dass die Kugeln wieder zurückgelegt werden. Dadurch ist ausgeschlossen, dass eine der Kugeln zweimal gezogen wird. Das Lotto 6 aus 49 wird also nun in 6 aufeinander folgende Spiele eingeteilt: 1 aus 49, 1 aus 48, 1 aus 47, 1 aus 46, 1 aus 45 und 1 aus 44.
Unerheblich ist dabei die Reihenfolge der gezogenen Lottozahlen. Ohne eine besondere mathematische Formel zu bemühen, kann man nun die Wahrscheinlichkeit für die richtigen Lottozahlen bei der Lotterie 6 aus 49 ausrechnen. Wenn man z.B. n Zahlen in einer beliebigen Reihenfolge sortieren möchte, kann man dies mit Hilfe der Fakultätenrechnung machen. Die Fakultät für kleine Zahlen berechnet sich mit
n! = n* (n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*...*1.
Im Beispiel „6 aus 49“ ist n = 6. Die Fakultät von 6 berechnet sich mit 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720.
Es gibt also genau 720 Möglichkeiten 6 Zahlen in unterschiedlicher Reihenfolge zu schreiben, ohne dass eine Kombination doppelt da sein wird. Wie hoch ist demnach nun die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige bei den Lottozahlen?
Zunächst zur Berechnung der möglichen Kombinationen für alle Lottozahlen:
E6 = (49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 13.983.816 .
Mit dem Kehrwert lässt sich die Wahrscheinlichkeit für 6 richtige Lottozahlen berechnen:
1 / 13.983.816 = 0,0000000715 = 0,00000715%
Dem Jackpot zu knacken ist allerdings noch schwieriger. Denn hier haben die Lottogesellschaften noch die Superzahl als zusätzliche Bedingung dazu gefügt. Mathematisch ergibt sich nun eine Kombination von "6 aus 49" verbunden mit einer darauf folgenden"1 aus 10". Es wird also eine weitere Wahrscheinlichkeit in Höhe von 10 Kombinationen darauf gesattelt.
Die Kombinationsmöglichkeiten erhöhen sich um den Faktor 10 auf 139.838.160.
Die Wahrscheinlichkeit den Jackpot zu knacken beträgt daher nur noch verschwindend geringe 0,0000000072, was 0,00000072% entspricht.
Trotz allem ist Lottospielen, das Ratespiel um die richtigen Lottozahlen für viele Menschen seit Jahrhunderten eine faszinierende Sache.
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